Nombor Besar

Nombor adalah tak terhingga. 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dotsc boleh diteruskan sampai bila-bila tanpa ada akhir. Ini dipanggil ketakterhinggaan (infinity).

Dalam dunia fizikal, semua kiraan adalah terhingga (finite). Walaupun kiraan membabitkan nombor besar, contohnya: jumlah molekul air di dalam cawan, tapi kuantiti tersebut adalah terhingga. Kalau kita kira jumlah molekul air di dalam Sungai Nil sekalipun, jumlah yang diperolehi adalah terhingga. Konsep tak terhingga (infinity) cuma wujud dalam matematik sahaja. Di dalam dunia fizikal dan bidang sains empirikal (fizik, kimia, biologi, astronomi, etc.), konsep tak terhingga tidak wujud.

Contoh objek-objek matematik yang tak terhingga:

  • Nombor bulat (integer): 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dotsc
  • Nombor genap: 2, 4, 6, 8, 10, 12 \dotsc
  • Nombor perdana: 2, 3, 5, 7, 11, 13, \dotsc
  • Nombor nyata di antara 0 dan 1: 0.1, 0.3452, 1/3, \pi/4, 0.99999, \dotsc
  • Nombor bulat negatif: -1, -2, -3, -4, -5, -6, \dotsc

Objek-objek dalam bidang sains yang banyak kuantitinya tetapi terhingga:

  • Jumlah penduduk manusia sekarang ini: ~6-7 billion
  • Jumlah penduduk manusia yang pernah hidup dari manusia pertama hinggalah bayi yang baru lahir sebentar tadi: tidak diketahui, tapi mungkin dalam skala 10 hingga 100 trillion
  • Jumlah serangga hidup di atas Bumi: ~1 quintillion (10^{18}). Ini tidak dikira haiwan-haiwan dan mikroorganisma yang lain
  • Jumlah bintang di dalam alam semesta: ~10^{24} atau 1,000,000,000,000,000,000,000,000. Di dalam galaksi Milky Way yang kita diami ini sahaja sudah ada ~10^{12} bintang.
  • Jumlah planet di dalam alam semesta: lebih kurang sama dengan jumlah bintang di alam semesta. Nisbah puratanya di dalam alam ini ialah 3 planet untuk setiap 1 bintang.
  • Jumlah atom di dalam alam semesta: ~10^{80} atau 100,000,000,000,000, 000,000,000,000,000, 000,000,000,000,000, 000,000,000,000,000, 000,000,000,000,000, 000,000. Ini adalah nombor terbesar yang boleh difikirkan di dalam fizik atau astronomi.

Walaupun nombor-nombor yang disebutkan di atas adalah besar-besar belaka, tetapi nombor tersebut tidaklah besar mana jika dibandingkan dengan nombor-nombor besar yang digunakan dalam matematik. Contoh paling mudah ialah nombor Googol (nama Google adalah diambil sempena nama ni). Googol ialah nama yang diberi kepada nombor 10^{100}, iaitu nombor 1 diikuti dengan 100 biji sifar. Ini adalah jauh lebih besar daripada jumlah atom di alam semesta. Jadi nombor Googol ini tidak boleh dibayangkan atau diimaginasikan betapa besarnya, kerana ia adalah jauh lebih besar dari alam semesta kita ini.

Googol ini pun tidaklah sebesar mana. Untuk menulis Googol ini saya cuma perlukan 2 saat sahaja, iaitu 10^{100}. Lebih besar daripada ini ialah nombor Googolplex, iaitu nombor berikut: 10^{\text{googol}}. Dalam erti kata lain, Googolplex ini ialah nombor yang boleh ditulis dengan 1 dan diikuti dengan beberapa biji sifar, iaitu sebanyak satu Googol. Walau bagaimanapun, saya cadangkan anda tidak menulis nombor ini, kerana jumlah sifar yang perlu ditulis adalah lebih banyak daripada jumlah atom di dalam alam semesta. Tak cukup dakwat nanti.

“A googolplex is precisely as far from infinity as is the number one.” — Carl Sagan, Cosmos

Walaupun 1 Googolplex ini amat besar sehingga tidak boleh ditulis, apatah lagi dibayangkan, nombor ini adalah tidak besar mana pun dalam matematik. Dalam matematik ada banyak nombor yang jauh lebih besar. Saya akan menghuraikan sedikit sebanyak mengenai nomb0r-nombor besar ini. Sebelum saya pergi lebih lanjut, saya perlu huraikan ciri-ciri nombor besar yang saya maksudkan:

  • Nombor itu mestilah terhingga (bukan infinity)
  • Nombor itu mestilah berguna dalam bidang matematik, bukan nombor yang sengaja direka-reka seperti 348527 kuasa 8107254 darab 6381394.
  • Nombor itu mestilah didefinisikan dengan jelas (contoh seperti Googol dan Googolplex di atas). Definisi yang tidak jelas seperti “nombor paling besar pernah difikirkan oleh manusia”, “nombor paling besar pernah difikirkan oleh manusia, campur 1”, dan sebagainya, tidak diambilkira.

Baiklah, cuba bayangkan betapa besarnya 1 Googolplex. Nombor ini walaupun besar sehingga tidak boleh dibayangkan saiznya, adalah lebih kecil berbanding Skewes’ Number. Skewes’ Number ini ditemui oleh Stanley Skewes dan digunakan oleh ahli matematik untuk mengkaji satu bidang matematik yang dinamakan Riemann zeta function. Jika 1 Googolplex ialah 10^{10^{10^{2}}}, maka Skewes’ Number ini jauh lebih besar iaitu 10^{10^{10^{963}}}.

Di sini mungkin anda berkata, hmm… kalau nombor besar boleh dibentuk dengan menggunakan kuasa atas kuasa, apa kata kita tambahkan lagi kuasa sehingga berkali-kali, mungkin kita boleh dapat nombor lebih besar daripada Skewes’ Number. Contohnya, boleh tak kita buat macam ini:

10^{10^{10^{10^{10^{\dotsc}}}}}

Jawapannya memang boleh. Nombor boleh jadi lebih besar. Kenapa gunakan 10? Kenapa tak gunakan nombor lagi besar, seperti 200, atau 1,000,000? Kenapa buat 5 tingkat sahaja, kenapa tak buat 1,000,000 tingkat? Ada banyak cara kita boleh jadikan nombor besar sebesar-besarnya.

Baiklah, sekarang kita dah tahu satu nombor besar iaitu Skewes’ Number. Kita ringkaskan Skewes’ Number sebagai S. Apa akan jadi kalau kita tulis nombor ini:

\underbrace{S^{S^{S^{S^{\dotsc}}}}}_{S \text{ kali }}

Maknanya kita ulang kuasa sehingga S kali, jadi cuba bayangkan betapa tingginya tingkat nombor kita ini. Mungkin anda beranggapan nombor ini sudah sangat sangat besar sehingga tak mungkin manusia boleh fikir nombor yang lebih besar?

Anda salah. Nombor yang terhasil, adalah sangat-sangat kecil jika nak dibandingkan dengan Graham’s Number. Graham’s Number (dinamakan sempena Ronald Graham) adalah jauh lebih besar dan berkali ganda lebih besar daripada nombor yang kita baru fikirkan tadi. Graham’s Number ini tidak boleh ditulis menggunakan operasi matematik biasa kerana nombor ini terlalu besar. Sehinggakan ada simbol yang perlu direka untuk menulis nombor ini. Nombor ini bukanlah rekaan semata-mata, bahkan nombor ini digunakan dalam kajian satu bidang matematik yang dinamakan teori Ramsey (Ramsey’s theory).

Graham’s Number ini pula adalah seciput sahaja, jika dibandingkan dengan siri nombor yang dipanggil Ackermann Numbers (sempena Wilhelm Ackermann). Jika nombor-nombor dalam siri Ackermann Numbers ini ditulis dalam jujukan seperti berikut

A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, \dots

maka Graham’s Number ini adalah lebih kurang sama besar dengan A_{10} sahaja. Nilai A_{100} adalah jauh lebih besar daripada Graham’s Number.

Sebesar-besar Ackermann Numbers pun, dalam penyelidikan matematik, wujud konsep nombor yang jauh lebih besar. Konsep ini dipanggil Busy Beaver Function (BB) dan ditemui oleh Richard Rado pada tahun 1962. Fungsi BB ini menghasilkan nombor-nombor yang jauh lebih besar daripada Ackermann Numbers. Nombor-nombor yang terhasil daripada fungsi BB ini adalah terlalu besar sehingga dari segi teorinya, tiada komputer atau alat pengiraan yang dapat digunakan untuk mengesan atau mengira nombor-nombor ini. Dalam istilah matematiknya, BB ini digelar non-computable function, atau fungsi tak boleh hitung.

Cukup setakat di sini dahulu. Nombor besar ini kalau cerita memang tak habis.

2 Responses to Nombor Besar

  1. NMS says:

    saudara menyatakan
    “Di dalam dunia fizikal dan bidang sains empirikal (fizik, kimia, biologi, astronomi, etc.), konsep tak
    terhingga TIDAK wujud.

    but in quantum mechanics, we do act our position and momentum operator (which is both unitary being a physical observable) on infinite dimensional space, for which we have these operators being unbounded. Weyl has proved tht finite dim won’t work if for e.g one takes the trace of matrix.
    This also due to the famous Heisenberg uncertainty.

    So is this purely mathematics?
    or physics? to be exact theoretical physics.

  2. suhaimiramly says:

    Hi NMS, thanks for the comment. Really appreciate it.

    I might be talking semantics here, but the infinity in QM (or any other fields of physics) appears as a tool in the mathematical modeling (or interpretation) of a physical phenomenon, not OF the phenomenon itself. So the infinite part comes from mathematics, not nature.

    A simpler example is perhaps when we use “infinity” to define the distance between two point charges (at rest) so their electric potential = 0. Of course, the infinite distance does not actually mean anything in the physical world, since we live in a finite universe. The infinity appears because of the way we model the electric potential of two point charges (i.e. inversely proportionate to the distance), and using the mathematical fact that 0 = lim 1/r as r -> inf.

    This is the sense in which I say that infinity does not occur in the physical/empirical sciences. The fact that the universe is finite and discrete (cf. Planck’s length) means that infinity is not attainable in any conceivable notion of the universe.

    (I might be wrong on the discrete part, since I do not know much about subatomic physics. If there is any observable quantity in physics that actually is a continuum (as opposed to being modeled as a continuum), then it is not inconceivable to have a purely physical phenomena that involves infinity in a meaningful way. So far, I only know that energy and mass is discrete.)

    Or maybe I’m wrong and what I said above is rubbish, in which case I stand corrected.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: